Вопрос № 73149   Увольнение

Уволиться по статье - это скорее всего за прогулы. Т.е. вам предлагают просто собрать вещи и уйти, и уволят вас, собственно, за пропуски. Некоторых это не смущает.

Требование отработать еще месяц - вполне законно. Это не отработка, это обязательный срок уведомления работадателя о вашем желании уволиться. И чем больше вы тянете с заявлением, тем позже этот месяц закончится. 
Судя по тому, что "руководсто требует отработать месяц" и "трудовой договор я не подписывал" - у вас бессрочный трудовой договор, который в продлении не нуждается. 

Не ожидая месяца уволиться без статьи вы не сможете. Да, поискав варианты нарушений, вы можете обратиться в суд или комиссию по трудовым спорам, но это будет ни разу не быстрее, чем "отработать месяц".