Заявление должны принять, а вот относительно увольнения - надо знать какой трудовой заключен.

Можно согласовать отпуск без сохранения заработной платы.

Да, если будет увольнение по п. 1 ст. 42 ТК, тогда полагается пособие в размере 3 среднемесячных з/п, если ЛНПА не предусмотрен больший размер.

Нет.

Нет, если не выйдете на работу - прогул и возмещение средств будет, не уволитесь в порядке перевода, если наниматель против.

Нет, не обязаны писать заявление, при увольнении по п. 1 ст. 42 ТК будет выходное пособие, а если по желанию работника - нет.

Нет, просто так нельзя уволить, для этого есть порядок, установленный ТК.

Мало информации для ответа. 

Уточняйте в вашей организации. Мы не можем знать, есть ли там даже объективная возможность. 

Название по сути не имеет значения. Важно правильно формулировать требования. А они зависят от обстоятельств, о которых вы не упоминаете.