Нет

Вам необходимо обратиться в суд о признании утратившим право пользования. Так, как добровольно он не снимается с учета. 

Пока Вы на отработке, предприятие не имеет права Вас уволить просто по Вашему решению. Если Вы сможете уволиться в связи с переменой места жительсва, то будете должны выплатить за обучение. За Вами будет долг.

Если она считате, что ее права нарушены, то может обращаться только в суд. Основания требовать с Вас денег не вижу. Просто не подпускайте к себе, не поднимайте трубку. Если остались жить в одной квартире, то надо разъезжаться.

Найти нарушения Вашего работодателя и обратиться в инспекцию по труду, но так, как увольнение все равно будет через суд за месяц можно не успеть. 

1. Увольнение за прогул.

2. У Вас распределение. Вас не уволят, если не будет договора о перераспределении. 

В Вашем примере 3 месяца не прошло. Если три месяца прошли, то по данной статье уволить уже не могут.

Да. Заключаете соответствующее соглашение у нотариуса, регистрируете его.

Любыми средствами доказывания - квитанциями, показаниями своими и свидетелей и т.д.

Из вопроса не ясно - алименты это на детей или она хочет на свое содержание.

Без суда, если только по доброй воле.