С Вас могут требовать только прохождение периодического медицинского осмотра (Инструкция о порядке проведения обязательных медицинских осмотров). Единственным диагностическим исследованием, обязательным к прохождению во время медосмотра учитилей является рентгенофлюографическое обследование. 

Оплатят. Обращайтесь к работодателю.

1. Если Вы проходили обследование от военкомата, то Вы не прогуливали. 2. Вам должно было приходить уведомление о том, что Вы обязаны дать объяснительную или будете уволены. Если уведомления не было, то так же есть нарушения при увольнении. 3. Предоставить все документы и требовать восстановления на работе. 

Если на момент приема на работу регистрация такой же и была, то имеют право не увольнять.

Да. Опишити Вашу ситуацию подробнее.

Отпуск может быть разделен на части с согласия работника. Требуйте предоставление полного отпуска.

Можете взять полный отпуск. 

До конца первого рабочего года Вы должны забрать оставшийся отпуск. С 1 мая у вас начинается новый рабочий год, даже если отпуск 24 дня. Не успеваете взять полностью (так как праздничные дни в мае). Но имееет право взять все, что успеете.

Отпуск можно разделять на части, обычно на две и одна часть должна быть не менее 14 дней. 14 дней за 1 рабочий год.

Да, это возможно.